只用几个数，记下一张图的任意变形？
你在做一个小游戏，主角是这张笑脸。美术给了几十种变形：拉宽、压扁、倾斜、旋转、翻面……每一种都存一整张图，太浪费了。
这些变形有个共同点：都是「均匀」的，整张图各处变得一样。那么，能不能只用几个数，就把任意一种这样的变形记下来？
先猜一下：最少需要几个数？
拖动绿色和橙色箭头的端点。
回头看：你刚才一共动了什么？
只动了两个箭头的端点。每个端点是一个点，有 2 个坐标，所以一共 4 个数。可整张笑脸、整片网格都跟着变了。
这很奇怪：为什么两个箭头就能决定整张图的样子？平面上有无数个点，凭什么只看 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 这两个就够了？
什么样的变形，能被两个箭头决定？
再拖一拖下面的箭头，盯着网格看：原点动过吗？直线有没有弯？平行的线还平行吗？间距还相等吗？
选一个向量 $\mathbf{v}$，看它被送到哪里：
定义（线性变换） 平面的一种变形，如果满足：原点不动；网格线变形后仍是直线，而且仍然平行、等距，就叫线性变换。
用式子说：对任意向量 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 和数 $a,b$，$\;T(a\mathbf{u}+b\mathbf{v}) = a\,T(\mathbf{u}) + b\,T(\mathbf{v})$。
关键在这里：任何向量都能拆成 $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j}$。线性变换保持这种「几份加几份」的关系，所以
$T\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = x\,T(\mathbf{i}) + y\,T(\mathbf{j})$
只要知道 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 去了哪里，其他每个点去哪里都定了。这就是两个箭头够用的原因。
定义（矩阵） 把 $T(\mathbf{i})$、$T(\mathbf{j})$ 竖着并排写在一起，就是这个变换的矩阵：
$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},\quad \text{第一列 } \begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix} = T(\mathbf{i}),\ \ \text{第二列 } \begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix} = T(\mathbf{j})$
矩阵乘向量就是「$x$ 份第一列 + $y$ 份第二列」：$\;A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}$
第 4 关里你见过的那张「系数表」，和这里的矩阵是同一个东西。同一张表，两种读法。
回到最初的问题：直接写出 4 个数
这次不拖了。先想「$\mathbf{i}$ 该去哪？$\mathbf{j}$ 该去哪？」，再把答案写成两列。
你刚才用的方法：把「这张图要怎么变」翻译成「$\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 要去哪」，然后写成两列。整个问题就是这样被定义解决的。
一开始的「最少几个数」，答案是 4 个：均匀的变形（线性变换）和 $2\times 2$ 矩阵一一对应。
这套定义和方法，还能解决什么？
旋转任意角度
提示：$\mathbf{i}$ 转 θ 后落在单位圆上的哪一点？$\mathbf{j}$ 呢？
$\mathbf{i}$ 转到 $(\cos\theta,\ \sin\theta)$，$\mathbf{j}$ 转到 $(-\sin\theta,\ \cos\theta)$，所以 $\;R_\theta = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$。你不需要背它，因为随时能用「$\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 去哪」推出来。
同一个方法，到处都在用
屏幕上每个物体的旋转、缩放、翻转，都是一个矩阵乘在它所有顶点上。显卡每秒做几十亿次这样的乘法。
三维里有 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 三个箭头，所以是 $3\times 3$ 矩阵，三列是它们的去向。想法完全一样。
解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，换个读法就是问：哪个向量被 $A$ 送到了 $\mathbf{b}$？有时无解、有时无穷多解，第 7 关会从这个角度看清原因。
什么时候，这套方法用不了？
知道一个工具的边界，才算真的懂它。下面三个变形，看看矩阵能不能做到。
1. 把笑脸往右平移 2 格
做不到。不管矩阵是什么，$A\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} = 0\cdot T(\mathbf{i}) + 0\cdot T(\mathbf{j}) = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$：原点永远不动。而平移恰恰要把原点也挪走。
以后会看到一个巧妙的办法：多加一维，用 $3\times 3$ 矩阵来表示平面上的平移（齐次坐标）。游戏引擎就是这么做的。
2. 把笑脸弯成波浪
不能。线性变换要求网格线变形后还是直线，还要平行、等距。波浪把直线弄弯了，所以它不是线性变换，任何 4 个数都描述不了。描述弯曲的变形需要别的工具（以后的「非线性」与微积分里的「局部看起来是线性的」）。
3. 把笑脸压成一条线，再变回来
不能。压扁之后，很多不同的点落在了同一个点上（比如 $(2,0)$ 和 $(0,1)$ 都到了 $(2,1)$）。一个点不可能再同时变回两个点，信息丢了。什么时候能「撤销」、怎么一眼看出会不会被压扁，是第 7 关（逆矩阵）和第 8 关（行列式）要回答的问题。
自己讲一遍
用一两句你自己的话说：矩阵到底是什么？它什么时候管用，什么时候不管用？